El NIST, la agencia encargada de definir los estándares tecnológicos para las agencias federales de EEUU, establece que la información con vigencia menor a 2010 debe usar al menos 1024 bits, con vigencia menor a 2030 deberá usar al menos 2048 bits y con vigencia mayor a 2030 deberá usar 3072.

Bruce Scheiner por otro lado en 2002 ratificó una tabla publicada anteriormente por él mismo en donde establece los bits recomendados según seas un individuo, una corporación o el gobierno. Ahí estipula que para 2005 los individuos ya deberían usar llaves de 1280 bits, y el gobierno ya debería estar usando 2048 bits.

Algunos más “inteligentes” que los anteriores, dicen que todos exageran, y recomiendan 1025 bits, razonando superfluamente que eso duplica la complejidad de la factorización. Ese razonamieto surge de pensar que el mejor algoritmo de factorización es por “fuerza bruta” sobre los posibles factores, probando todos los números entre y para factorizar un módulo de 1024 bits, pues sus factores primos son de 512 bits.

La realidad es otra, y desde hace tiempo, desde Fermat de hecho, existen métodos sublineales de factorización de enteros respecto al tamaño del entero y los mismos algoritmos son subexponenciales respecto al número de bits del entero. Por lo que aumentar un bit la llave no es tan drástico como aumentarlo en otros algoritmos como AES, como no es tan drástico multiplicar por dos el tamaño del entero, pues eso no duplicaría el tiempo necesariamente. ¿Pero qué tanto aumenta el tiempo un bit más?

Criba General de Campos Numéricos (GNFS)

GNFS es el mejor algoritmo de factorización de enteros, conocido a la fecha, para enteros de 130 digitos al menos (que son aproximadamente 432 bits). En 2005 el algoritmo se utilizó para romper el récord de factorización RSA para un entero de 640 bits, hazaña que fue llevada acabo por un equipo de investigación alemán. Lo interesante de este algoritmo es su complejidad, y en base a ella voy a realizar algunos cálculos para esclarecer qué tan fuerte es aumentar un bit más a un módulo RSA.

La complejidad del algoritmo está dada por

donde es una constante dada por la heurística utilizada en el algoritmo y es el número a factorizar (no los bits del número). Carl Pomerance, creador del segundo mejor método de factorización, indica que en este caso . Por otro lado tenemos que es una función asintótica que tiende a cero, por lo que para los cálculos se va a considerar como cero, pues Pomerance así lo toma.

Teniendo eso, lo que se puede hacer ahora es calcular el tiempo del algoritmo para factorizar un número de 1024 bits y comprarlo respecto al tiempo para factorizar uno de 1025 bits. Por lo que vamos a denotar al tiempo de 1024 bits y al tiempo de 1025 bits.

Sabemos que un número de 1024 bits se aproxima a y uno de 1025 bits a , por lo que se van a tomar esas aproximaciones para simplificar la exponenciación. Tenemos entonces que

donde es la constante de la notación asintótica.

Por lo tanto tenemos que

Que es muy poco. Pues si el gobierno de algún país contara con los recursos para romper un módulo de 1024 bits en 24 semanas (6 meses), entonces romper uno de 1025 bits les llevaría casi 25 semanas. Esto en el mejor caso, puesto que la complejidad del algoritmo está dada en notación O, así que el algoritmo podría comportarse aún mejor de lo estimado y ser más rápido.

Si hacemos lo mismo y comparamos un módulo de 1024 respecto a uno de 1280, tenemos que . Que es bastante decente, y suponiendo que se pudiera factorizar el módulo de 1024 en una semana, entonces tardarían 8 años y medio en factorizar el de 1280; lo que le da bastante más confiabilidad a ese módulo que a uno de 1025. Aunque un cálculo más correcto sería considerando una ecuación diferencial porque la capacidad de cálculo no va a permanecer 8 años igual, va a ir aumentando.

Pragmáticamente hablando

Seguramente alguno va a desconfiar de este análisis, y necesitará una prueba más terrenal, sin tanta matemática. En ese caso lo invito a bajar un paquete que tenga implementado el algoritmo y factorice un número de unos 450 bits, que se puede hacer en un tiempo bastante decente (unos minutos) y vaya aumentando de bit en bit, para comparar los tiempos. Implementaciones hay varias y se pueden encontrar en la página de la wikipedia sobre GNFS.

Esta herramienta es bastante antigua, creada en los albores del siglo XVIII, y se llama Series de Taylor. Va a servir para aproximar una función a sus valores numéricos, con tanta precisión como queramos.

Primero necesitamos una función , como , y necesitamos buscarle un valor conocido a esa función, una tal que sepamos cuánto vale , en este caso sabemos que . Esta función además debe tener con una propiedad interesante: tiene que ser infinitamente diferenciable en ; esto quiere decir que

siempre son números reales. O sea, en términos coloquiales, que se puede derivar tantas veces como se quiera.

En el caso de la función , sabemos que todas sus derivadas se van alternando entre y . Así tenemos que

Observése que se vuelven a repetir los valores para la quinta derivada, así sucesivamente, esto forma un ciclo de 4.

Ya que tenemos todo lo anterior, podemos definir un polinomio de grado de esta forma

Este se polinomio se llama polinomio de Taylor de grado n para f en a. No hay que espantarse, es simplemente sustituir cuánto valen todas las derivadas y dividirlas entre un factorial. No es tan complicado.

En el caso de , tenemos que la derivadas “pares” siempre van a dar cero, mientras que las impares alternan entre 1 y -1, por lo que para simplificar las cosas podemos calcular su polinomio de Taylor de grado impar. Recordando que los números impares son de la forma , con un número natural.

El polinomio de grado impar para en 0, sería

Este polinomio también se puede ver como una vulgar suma (serie de Taylor)

¿Cómo se usa esa serie para aproximarse a un valor numérico de la función?

Lo que más nos interesa para una aproximación numérica, es saber qué tan grande es la diferencia

porque entre más pequeña sea la diferencia mayor precisión tendremos.

Usando ciertos resultados de Lagrange, Cauchy y Taylor, se puede llegar a demostrar que

Pero además se sabe que , para cualquier .

Esto implica que la serie de Taylor se puede acercar tanto como queramos a la función ; nada más hay que buscar una lo suficientemente grande.

Un ejemplo

Quisieramos calcular cuanto vale , con una precisión de 12 dígitos decimales. La pregunta obligada sería ¿hasta qué tengo que sumar la serie de Taylor para obtener esa precisión?

La pregunta se puede reformular como sigue: encontrar una tal que

Usando el resultado del apartado anterior sabemos que

Por lo que basta encontrar una , tal que

En este caso con que tomemos bastará. Así que sólo hay que hacer la suma

para obtener con una precisión de 12 dígitos decimales.

Hay que observar que esa sirve para todos los valores de en el intervalo .

¿Serviría en la práctica?

Obsérvese que en este caso, entre más alejado del cero esté , más grande va a ser la que vamos a requerir para tener alguna precisión decente. Pero no hay que preocuparse demasiado, esto se puede arreglar.

Dado que la función es periódica y tiene un periodo igual a , para cualquier tenemos que , con cualquier entero. Además siempre podemos encontrar una tal que
.

Así reducimos el problema, sólo tendremos que hacer cálculos en un intervalo pequeño. Como se sabe que , con que tomemos tendremos una bonita estimación de la función seno con 9 dígitos decimales de precisión. Suficiente para armar nuestra propia calculadora científica.

En un próximo post les hablaré de polinomios de Taylor para otras funciones. Si les pareció interesante o no me expliqué bien en algún punto dejen sus comentarios.

How To Crack A Combination Lock – video powered by Metacafe

Entre ellos estan Albert Einstein, Marie Curie, Max Planck, Erwin Schroedinger, Heisenberg, Dirac, Niels Bohr…

Esta foto fue tomada durante la quinta conferencia de Mecánica Cuántica en Solvay, Bruselas, en 1927. Imagina que 17 de los 29 asistentes a esta conferencia eran o se convirtieron en Premios Nobel, incluida Marie Curie que fue premiada en dos diferentes ciencias, física(1903) y química(1911). Definitivamente en la ciencia, somos enanos en hombros de gigantes y estos son los colosales gigantes que sostienen gran parte de la ciencia moderna, esa asintótica forma de acercar el conocimiento a la realidad.

(Fuente:b3co)

Aqui les voy a exponer un método sencillo y muy usado para exponenciar en grande de una manera más eficiente.

El Algoritmo para exponenciación se llama Square-And-Multiply(SQM), se basa en el principio de cambiar el exponente a una base más pequeña (base dos) para asi lograr un número menor de multiplicaciones. Este resultado no sería posible sin algunos resultados sobre exponentes y logaritmos.

Imaginemos que queremos calcular , si no conocemos mas que la definición de potencia entonces nos veríamos en el caso de multiplicar veces para así llegar al resultado, pero ahora pensemos en cómo podríamos escribir en base (binario). Tendríamos que y en sistema decimal tendríamos que .

Asi que viendo lo anterior pues ahora se nos podría ocurrir escribir:

Que listillos, ¿no? Seguramente ya se habrán dado cuenta de lo que se tiene que hacer. Primero que nada no contar los lugares donde haya un como digito significativo en el exponente porque sabemos que es un a la hora de multiplicar. El algoritmo completo quería así:

PotenciaSQM (b,n)
   binexp  PasaABinario(n)
   p  1
   s  b
   if n > 0 then
      if binexp[0] = 1 then
          p  b
      endif
      for  do
           
           if binexp[j] = 1 then
              p  p*s
           endif
      endfor
   endif
   return p
end

¿En qué es mejor este algoritmo?

Si piensan con más detenimiento se darán cuenta de que se tienen que hacer a lo más multiplicaciones (sin contar el cambio de base del exponente), y esa función se va “achaparrando” mucho en comparación con que serían el número de multiplicaciones que se tendrían que hacer si se hiciera la exponenciación “a pie”. Por ello es un buen método para exponenciar con números muy grandes, ya que entre más grande sea el exponente se verá más la eficiencia de este método.

Entonces reflexioné acerca de la manera en cómo había llegado yo a querer tanto a la ciencia, y fue cuando descubrí que, para mi, en gran parte provenía de las anécdotas que me habían contado mis maestros acerca de los descubrimientos o de los razonamientos que sentaron las bases para las diferentes ramas de la ciencia, porque quizá hubiera sido muy diferente mi aproximación a las matemáticas si no hubiera un trasfondo de historias poco comunes en donde se contaba que personas de carne y hueso habían logrado, con todo y los problemas de la vida humana, llegar a los razonamientos más bellos que jamás había imaginado.

Y ahora voy a extraer una historia que me encantó cómo fue contada en ese mismo libro, la historia de las fórmulas generales para ecuaciones de tercer y cuarto grado:

“La gran iglesia de Brescia no ha tenido jamás una afluencia tal. La gente que la llena no son fieles que acuden a una ceremonia religiosa. Decenas de mujeres y niños, apretujados y temblorosos, esperan. ¡Ni aquí, en la casa de Dios, se sienten protegidos! ¡Es pleno invierno y hay tal muchedumbre que casi hace calor! El silencio es absoluto. Todos los ojos están fijos en la puerta principal. Fuera, el ruido es progesivamente más fuerte, más cercano. En el interior se corta el aire. Los cuerpos están petrificados, las respiraciones contenidas. Es la mañana del 19 de febrero de 1512.

La puerta se rompe con un estruendo espantoso. Por el gran hueco se precipitan violentamente un grupo de mercenarios. Blandiendo la espada, penetran con sus monturas al interior de la iglesia. Los caballos, con terribles relinchos, se hunden en la masa humana que aúlla de miedo. La gente, de pie, no puede huir. Son aplastados, ahogados, pisoteados. Pero el horror está aún por llegar. La horda, con las espadas, atraviesa los cuerpos indefensos ¿Cómo huir? Niccoló se ha encogido aún más: está acurrucado en brazos de su madre. Un jinete se acerca al pie del pilar en el que la familia se proteje. Niccoló ve una espada inmensa crecer, crecer… Luego no ve nada. La espada se ha abatido sobre su cráneo, sobre su cara. La madre resulta ilesa por la ceguera del verdugo. ¡Victoria! Las tropas francesas acaban de conquistar el pequeño pueblo del norte de Italia, asesinando, violando, robando, quemando. Van mandadas por un apuesto joven de veintidós años, el terrible Gastón de Foix, llamado ‘Rayo de Italia’. Morirá cincuenta y siete días después en la batalla de Ravena con la cara atravesada por quince lanzadas.

Eso le sucedió a Niccoló en la iglesia de Brescia. Su cuerpo exánime fue rescatado de entre los muertos que se contaban por docenas. Dos terribles heridas surcaban su cara. Tenía la mandíbula machacada pero estaba vivo.

Niccoló tenía doce años. Aparentaba bastantes menos porque era de pequeña estatura, como su padre, a quien llamaban Micheletto el Caballero, porque era minúsculo y pasaba sus días montando a caballo por los caminos repartiendo el correo de los nobles de la zona. Micheletto había muerto seis años antes de esos acontecimientos. De cansancio. La familia, que no era rica a su muerte fue pobre.

Demasiado pobre para pagar un médico que curase a Niccoló. Su madre lo hizo sola: vendó las heridas, le puso ungüentos. Y dejó que el tiempo actuase. El niño no pudo decir ni una palabra durante meses. Tuvieron miedo de que quedase mudo. Luego acabó por articular algunos sonidos y, lentamente, recobró la a palabra. Pero tartamudeaba. Sus amigos le llamaron Tartaglia, el tartamudo. Y él decidió conservar ese nombre. Sucedía esto en 1515, cuando, no lejos de allí, Francisco I obtenía una gran victoria en la villa de Melegnano, que los franceses se empeñaban en llamar Marignano.

La familia, que no tenía dinero para pagar a un médico, tampoco lo tenía para contratar un profesor. Niccoló ya había tenido uno, en realidad sólo un tercio…, que le enseñó un tercio del alfabeto.

El padre apalabró a un profesor cuando Niccoló tenía seis años. El pago debía hacerse por tercios. Micheletto pagó el primer tercio y, justo después, se murió. El profesor paró automáticamente las clases y Niccoló se quedó en dique seco, anclado en un tercio de alfabeto. ¿Qué hay y cómo se escribe lo que sigue a la I? Niccoló ardía en deseos de saberlo. Acabó por conseguir un alfabeto completo y aprendió, él sólo, los dos tercios restantes.

Tartaglia anduvo mucho camino desde el momento en que aprendió él solo los dos tercios que le faltaban del alfabeto. Seguía siendo menudo de estatura aunque le había crecido una barba que le ocultaba casi por completo las cicatrices. Y sólo un atento oído podría notar algunos tropiezos en su pronunciación. Era un sabio reputado que no solamente había leído ‘obras de hombres difuntos’ como escribiría, sino que también las había traducido: Euclides, Arquímedes… En estos momento estaba muy interesado en la resolución de las ecuaciones de tercer grado por radicales (sólamente usando operaciones aritméticas, nada más).

Tiempo atrás el primero que abrió camino sobre estas ecuaciones fue un profesor de matemáticas de Bolonia, Escipión del Ferro, que consiguió encontrar algunas soluciones a la ecuación de tercer grado. En vez de publicarlas, las guardó en secreto, pero acabó por comunicar su método a su yerno, Aníbal de la Nave.

Aníbal de la Nave a su vez fue incapaz de tener la lengua quieta y le dijo el método a uno de sus amigos, Antonio María del Fiore, el cual mantuvo el secreto hasta la muerte de Del Ferro en 1526. Enseguida, en lugar de hacer público lo que se le había confiado, lanzó en nombre propio retos a los matemáticos.

Tartaglia aceptó el desafío. Se enzarzaron en un duelo algebraico. Cada uno depositó en casa de un notario una lista de treinta problemas y una suma de dinero. Aquel que, en cuarenta días hubiese resuelto el mayor número de problemas sería declarado vencedor y se embolsaría el dinero. Se conocen los treinta problemas de Del Diore. Por ejemplo éste: ‘Hallar un número que, añadido a su raíz cúbica, dé 6′, o: ‘Dos hombres ganan en total 100 ducados, la parte del primero es la raíz cúbica de la del segundo’, o: ‘Un judío presta un capital con la condición de que a fin de año se le paguen como intereses la raíz cúbica de lo que prestó. Al final del año el judío recibe entre capital e intereses 800 ducados. ¿Cuál es el capital?’. Tartaglia tuvo sus trucos, Del Fiore su judío…

En todos los problemas de Del Fiore intervenían encuaciones de tercer grado. Tartaglia los resolvió en pocos días. Del Fiore no pudo hacerlo con ninguno de los propuestos por su adversario. Sin embargo impugnó los resultados. Tartaglia, declarado vencedor, rechazó el dinero, no quiso aceptar nada de un mal jugador. Todos esperaron que publicase el método que le había permitido ganar con tanta facilidad.

Internivo entonces un médico de Milán. Un médico matemático. Girolamo Cardano, que nació en Pavía en 1501, en la época que los franceses ocupaban la región. Cardano aún no tenía un mes de existencia y ya había atrapado la viruela. Le sumergieron en un baño de vinagre y se curó. A los ocho años tuvo disentería. A los nueve cayó por las escaleras, y, en el colmo del infortunio, un grueso martillo que llevaba en las manos se le escapó y se incrustó en medio de la frente abriéndosela hasta el hueso. Una desgracia nunca viene sola, ya que, algún tiempo después, mientras estaba sentado tranquilamente en el umbral de su casa, una piedra se soltó del tejado y ¡le cayó sobre el cráneo! A los dieciocho años contrajo la peste. Estuvo a punto de ahogarse, en Venecia primero y, luego, en el lago de Garda. Se rompió el anular de la mano deecha en Bolonia y por dos veces le mordió un perro. Para acabar de arreglarlo todo descubrió que era impotente. A pesar de sus intentos de señoritas de dudosa virtud, no pudo resolver el problema. La impotencia se acabó para siempre en su noche de bodas, a los treinta y un años. A los treinta y cinco años empezó a orinar mucho (hasta sesenta onzas diarias), y eso no cesó jamás. Al revés de lo que pasó con sus hemorroides, que le hicieron sufrir mucho y que, ¡milagro!, se le curaron de golpe a los cincuenta años.

Fazio, el padre de Cardano, era procurador de Hacienda, doctor, jurista, erudito; el clásico hombre del Renacimiento. Fazio tartamudeaba como Tartagli. Siendo siño, también recibió un terrible golpe que le arrancó trozos de hueso de la cabeza. Desde entonces no pudo estar con la cabeza descubierta. Sin embargo lo compensaba con la vista: veía por la noche como un gato, y en toda su vida no precisó de gafas.

La madre de Cardano era, según su hijo, ‘gorda, piadosa e irascible’, pero ‘dotada de una memoria y un espíritu superiores’. Fazio trataba a Girolamo como a un criado. Le exigía que le siguise adonde fuera, ignorando el cansancio del niño. Su padre y su madre, que no se entendían en nada, sólo estaban de acuerdo en una cosa: le zurraban mucho y bien. Y cada vez que lo hacían, confesaba él, enfermaba de muerte. A los siete años, sus padres decidieron cesar de azotarle.

Era de estatura mediana, pies cortos y anchos hacia la punta, estrecho de pecho, brazos bastante flacos, los dedos de la mano derecha los tenía separados unos de otros, hasta el punto de que los quirománticos le juzgaban estúpido y palurdo.

Su cabeza funcionaba bien, extraordinariamente bien, a pesar de todas esas miserias. A los veinte años enseñaba Euclides en la Universidad de Pavía. Adquirió mucha fama como astrólogo y empleaba mucho tiempo confeccionando horóscopos. Ya muy célebre, era solicitado en toda Europa: Roma, Lyon, Dinamarca, Escocia. Le pagaron substanciosamente para que fuese a Edimburgo a curar a un arzobispo, y, a la vuelta, en Londres aprovechó para hacer el horóscopo de Eduardo VI, hijo de Enrique VIII y Jeanne Seymour, que subió al trono con nueve años. El soberano andaba por los dieciséis y leyó muy contento el horóscopo de Cardano, que le predecía larga vida, ‘mucho más larga que la edad media de sus contemporáneos’.

No bien llegó a Italia, Cardano se enteró de la noticia: ¡Eduardo VI acababa de morir! Blanco de las burlas, no se amilanó. Pretextó unos errores de cálculo, lo que parecía bastante ridículo en un matemático.

Cardano tuvo dos hijos y una hija. Con ella todo fue bien. Con los hijos… Giovanni Battista, el mayor, fue su prefererido; de salud también frágil. Con cuatro años, por falta de cuidados de su nodriza, se quedó sordo del oído derecho. No obstante, aprendió música y llegó a ser un músico de calidad. Fue médico como su padre. Aunque no era impotente en absoluto, como lo había sido su padre, no fue capaz de satisfacer a su mujer, de temperamento incendiario. Ella no paró de engañarle. Hasta el día en que él le dio de comer un pastel. Condenaron a Giovanni Battista a muerte por haberla envenenado.

Cardano se puso en contacto con Tartaglia cuando tuvo conocimiento de su gran éxito. Le presionó a lo largo de mucho tiempo para que le dijese sus fórmulas, cosa que Tartaglia no hizo. Cardano fue más inquisitivo. Trampas, ruegos, engaños, hasta amenazas. Enfurecido por la negativa que ya duraba tanto, acabó por escribirle una carta en la que le trataba de presuntuoso, le decía que se tenía por ‘alguien importante, en la cima de la montaña, en tanto que él estaba en el valle’.

Cardano cambió súbitamente de estrategia, fue suave y llegó a ser amigo de Tartaglia, que empezó por decirle el texto de algunos de los problemas que planteó a Del Fiore, aunque guardó los otros en secreto, por ejemplo: ‘Cortar una recta de longitud dada en tres segmentos con los que se pueda construir un triángulo rectángulo’, o bien: ‘Un tonel está lleno de vino. Cada día se vacían dos cubos que son reemplazados por dos cubos de agua. Al cabo de seis días hay la mitad de vino y la mitad de agua. ¿Qué capacidad tiene el tonel?’.

La resistencia de Tartaglia, aunque minada, aún no estaba preparada para ceder. Pero Cardano tenían un as en la manga: ¡era médico! Para Tartaglia, que tanto lo necesitó durante su juventud, era un pasaporte que abría todas las puertas y vencía todas las resistencias.

Tartaglia publicó en 1537 Nova scientia. Se lanzaron sobre él para descubrir las fórmulas fantásticas y los procedimientos empleados en la resolución de las ecuaciones. ¡Ni una sola palabra sobre ello! En la obra no había nada de álgebra.

¿Sobre qué había trabajado el salvado de la muerte en la iglesia de Brescia? ¡Sobre la fabricación de explosivos! ¿Sobre qué más? ¡Sobre la trayectoria de las balas de cañón! Le impulsó un interrogante: ¿Qué relación hay entre el alcance de un proyectil y el ángulo con el que ha sido lanzado? Tartaglia proporcionaba dos respuestas a eso:

1. La trayectoria de una bala jamás es rectilínea. Cuanta más velocidad lleva menos curva es la trayectoria.
2. El alcance máximo de un cañón corresponde a un ángulo de tiro de 45 grados.

Como no se publicaban las fórmulas, la insistencia de Cardano se intensificó y la resistencia de Tartaglia se debilitó. Cardano le hizo una promesa: ‘Si me enseña sus invenciones, no sólo no las publicaré jamás, sinoque las anotaré para mi en clave, a fin de que, tras mi muerte, nadie pueda entenderlas’.

Por fin, un día de marzo de 1539, Tartaglia consintió en hablar. A Cardano el corazón le latió aceleradamente. Se sentó y esuchó. La voz de su amigo, en la que percibió titubeos de su leve tartamudez, se elevó:

‘Quieres resolver la ecuación un cubo y la cosa igual a un número. Busca dos números cuya diferencia sea el número dado y cuyo producto es el cubo del tercio del coeficiente de la cosa. La solución es la diferencia de las raíces cúbicas de los dos números’.

Cardano publicó, algún tiempo después el Ars magna. El Gran Arte. Tartaglia se apresuró a leer la obra de su amigo. ¿Y qué encontró? ¡Su propio método de resolución de la ecuación de tercer grado pormenorizadamente descrito! Cardano le había engañado.

Cardano había ido más lejos en su Ars magna que Tartaglia. No sólo había dado las fórmulas de éste último, que no eran válidas mas que para ciertas ecuaciones particulares sino que proporcionaba otras. Por ejemplo, fue el primero en presentar la solución completa de la ecuación de tercer grado. Se supo por él que la ecuación de tercer grado era resoluble por radicales.

En el Ars magna había otro resultado fabuloso. También la ecuación de cuarto grado se resolvía por radicales. A pesar de sus esfuerzos, el descubrimiento no era ni de Tartaglia ni de Cardano, sino de Ludovico Ferrari.

Ferrari fue contratado como empleado por Cardano. Era un muchacho de aspector limpio y sonrosado, según se dice, con una voz dulce, alegre rostro y nariz armónica, amante del placer, de gran inteligencia, pero… ¡con las inclinaciones de un diablo! Ante el interés que demostraba por su trabajo, Cardano le autorizó a seguir sus cursos. Ludovico los siguió con tanto aprovechamiento que sobrepasó a su maestro, al que profesaba un afecto sincero. Fue el hijo que tanta falta le había hecho. Ludovico se alineó con Cardano en el combate que le enfrentaba a Tartaglia. Hubo terribles disputas entre los dos, de las que Ferraria salió victorioso. Pronto fue rico por el éxito de todo lo que emprendía. Deseoso de placeres, llevaba una vida disoluta. Su hermana fue la única persona a quien Ludovico amaba. Murió a los cuarenta y tres años envenenado por esa hermana, según se afirma. Otros opinan que fue el amante de esta última quien echó el veneno.”

Como las fórmulas de Cardano son extensas (poco prácticas) actualmente se usan otros métodos más sencillos, pero las fórmulas generales escritas en notación modera se puede encontrar aqui.

Cabe destacar que cuando Cardano y Tartaglia usaban y escribieron sus fórmulas, no lo hicieron de la manera como uno lo imaginaría. Tartaglia le comunicó a Cardano el método en forma de poema y Cardano escribió sus métodos a letra limpia, no existía en ese momento nada de la simbología que usamos actualmente, como el signo igual (=) y, la incógnita era llamada ‘la cosa’.

Y si esta historia a alguien le pareció interesante, puede comprar el libro en Gandhi. Es una novela amena que parte desde los cimientos y va llevando de la mano al lector por las diferentes ramas de las matemáticas, es un texto principalmente para aprender acerca de lo que en verdad son las matemáticas y no la falsa imagen que nos deja la escuela.
Otra recomendación es: “El elegido de los Dioses”; en donde se cuenta la historia de un muchacho de 19 años que antes de morir a los 20 años había demostrado que NO se puede encontrar un método general (resolución por radicales) para resolver ecuaciones de quinto grado o mayores, que aunque ese problema ya había sido resuelto por Abel unos años antes, la forma en como lo hizo Galois fue tan pero tan genial que ha dado tela de donde cortar durante muchos años en teoría de campos y grupos. No se habla de nada formal en esa novela, sólo es la biografía contada de manera amena de la trágica vida de un muchacho francés.

La historia de Galois es una pequeña muestra de que es una mera ilusión que la matemática sea una ciencia cuadrada o terminada.

Leonhard Euler inventó una función muy importante para el análisis llamada la “función Gamma”, usada también por los físicos y está definida como sigue:

Para la función Gamma es continua y está dada por .

Cumple las siguientes propiedades:

1. .
2. si es natural.
3. .
4. .

También es usada para calcular distribuciones de probabilidad, es toda una maravilla la función. Cabe mencionar que existen infinidad de funciones continuas tales que para todo natural, pero ésta es muy importante en matemáticas.

        1 ,  2,   3,  4,  5,   6,   7,,  47, 48, 49, 50,
100, 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, ,53, 52, 51

Es como si agarramos un hilo como si fuera la numeración y lo doblamos, quedan de esa manera.

Si nos damos cuenta

Entonces podemos notar que el número 100 se va a repetir 50 veces pues si partimos el hilo en dos sería la mitad de 100, pero queda en un extremo el 50 asi que…

Ésto aplica a cualquier número

Que es el equivalente a estar sumando en la calculadora

La formula general se puede deducir de ésta manera, si quisieramos conocer la suma de los primeros números naturales primero nos fijamos si es par o impar, si fuera impar entonces podemos partir la lista en dos listas (, ) tales que la suma de los i-ésimos elementos de las dos listas sea y como cada lista tiene elementos la suma de todos sería igual a ; ahora que si fuera par entonces podemos hacer dos listas (, ) donde cada lista tiene elementos, los sumamos y nos quedaría , sólo quedaría sumarle a eso que no consideramos en las listas y así volvemos a obtener .

Una aproximación diferente para encontrar el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci y su relación con la proporción áurea.

Introducción

Algunos seguramente ya habrán oído de este problema en sus cursos de programación para presentarles las funciones recursivas, y quizá también les hayan pedido que lo resuelvan de forma iterativa.

Les voy a presentar una forma iterativa que lo resuelve con matrices, al final se hará una observación sobre el número áureo y su relación con esta sucesión.

La sucesión

Consideremos la sucesión de Fibonacci. Ya sabemos como va:

Pues sin más complicación consideremos la matriz . Y observemos que si consideramos la matriz podríamos deducir que .

Si pedimos que obtenemos que . Ahora podríamos obtener el n-ésimo término con multiplicaciones de matrices.

Si no saben que significa elevar una matriz cuadrada a la sólo hay que multiplicarla veces consigo misma. (i.e. , donde ).

El número áureo

El número áureo indica una proporción descubierta en la antigüedad al pedirle a un segmento de recta que cumpla con cierta propiedad; a partir de ese segmento se puede construir un rectángulo (llamado rectángulo áureo). El número áureo denotado por la letra griega es igual a .

Esa proporción es muy mística y fascinante, fue aplicada mucho en el renacimiento (sobre todo por Da Vinci) y en el arte de la antigua Grecia; destaca que algunos patrones biológicos de crecimiento de poblaciones de bacterias siguen esta proporción.

Bueno aqui lo interesante es que la sucesión de Fibonacci es una sucesión en la cual el número áureo anda muy metido, para los algebristas lineales será fácil comprobar con lo dicho anteriormente que uno de los valores característicos de la matriz es exactamente .

La extrema ociosidad

Para rematar con la ociosidad matemática, con esos valores característicos se puede construir un fórmula general para conocer cualquier término de la sucesión, lástima que la computadora no puede manejar irracionales nativamente.

Para cualquier el n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci está dada por la siguiente regla

Y para los amantes del análisis ahora con esto se puede demostrar que .