De balas perdidas, cines y Hendrik

Por la petición a gritos de un conocido hace tiempo, hice el ejercicio de calcular la trayectoria de una bala disparada por un arma calibre 9mm a la lejanía. Primero para saber hasta donde podría llegar, en qué angulo caía y por último para saber si era posible que el proyectil a su caída pudiera herir a alguien. Todo esto a raíz del sonado caso que ocurrió en la Ciudad de México, de un niño llamado Hendrik que recibió un proyectil en la cabeza mientras estaba en una función de cine. [Nota periodística]

La trayectoría balística

La manera más simple de calcular la trayectoria de una bala es mediante el movimiento parabólico, que dice que un objeto disparado desde el suelo con cierta inclinación recorre una parábola perfecta y toca el suelo con la misma velocidad con la fue disparado. Esta sería una aproximación muy buena si el objeto viajara a velocidades bajas, digamos a velocidades en donde a simple vista se pudiera observar perfectamente el objeto en movimiento, pero para el caso de una bala esto no es así por lo que es necesario considerar que el aire frena al objeto durante la trayectoria recorrida.

En el siguiente dibujo se puede observar la trayectoria ideal (en verde) y la trayectoria real (en rojo) de una bola de beisbol al ser lanzada. La trayectoria real, cuando se considera la fricción del aire, no describe tal cual una parábola y el ángulo de caída es más cerrado que el ángulo de salida.

Ejemplo de trayectoria

La cuestión es compleja y cada instante que el objeto viaja en el aire es frenado en cierta magnitud, dependiendo de la densidad del aire y el área del objeto. Para modelar esta desaceleración en conjunto con el movimiento parabólico es necesario usar una ecuación diferencial y el cálculo de la trayectoria se torna más complejo que simplemente dibujar una parábola.

Calculando la trayectoria

Para hacer el cálculo de la trayectoria, me basé en el artículo de Amanda Wade, GOING BALLISTIC: BULLET TRAJECTORIES. En el texto se describe cómo calcular la trayectoria real de una bala disparada por un rifle con cierta inclinación, considerando la desaceleración producida por el aire en el movimiento horizontal. Lo más interesante es que también detalla la manera de calcular esta trayectoria usando el Método de Euler, para ecuaciones diferenciales de primer orden y con ayuda de Excel.

Lo único que hace falta es considerar que la bala es diferente, con diferente masa, diferente área y velocidad inicial. Para este caso se considerará una bala de diámetro 9mm, masa de 8 gramos y velocidad de salida de 360 m/s. Con todo eso se puede calcular la trayectoria de un disparo “al aire”, digamos con una inclinación de 70º, ya que sería absurdo considerar un tiro vertical perfecto de 90º o tiro de 45º, porque la bala podría chocar antes con un edificio cercano. El archivo de Excel con las fórmulas se puede descargar de aquí [Bala Excel].

Una vez hecho el cálculo lo graficamos y podemos observar la trayectoria de la bala en el siguiente dibujo.

En resumen los datos que se obtienen indican que la bala alcanza unos 1,700 metros de distancia y otro dato muy importante, que no se puede observar en la gráfica pero en los cálculos detallados sí, es que la magnitud de la velocidad final al tocar el suelo es de 133 m/s, bastante menos que su velocidad de salida, pero letal. Se sabe, desde los años 20, que una bala desde 61 m/s atraviesa la piel [Ver artículo].

Ángulo de entrada

Un aspecto más que se debe analizar para efectos del caso que ocurrió en México es el ángulo de entrada. Digamos que si se quisiera uno proteger de esa bala colocándose atrás de una pared de 10 metros, ¿qué tan cerca tengo que colocarme de la pared para que la bala ni me roce?

El ángulo de entrada durante los últimos 100 metros de caída es de aproximadamente 7º. Por lo que si hacemos un diagrama considerando una pared de 10 metros, nos quedaría algo así:

bala-pared

Es decir que un adulto de 1.8 m de altura tendría que estar parado a 1 metro o menos de la pared para que la bala ni siquiera lo roce. Bastante cerca.

Otra observación que se puede hacer es que aunque el tiro fuera a 45º, el ángulo de entrada sería de aprox. 18º, por lo que aún así tendríamos que estar a 3 metros o menos de la misma pared para que ni nos roce la bala. Se ve muy minada la protección que podría ofrecer esa pared dado el ángulo de entrada.

Los Mythbusters

Los Mythbusters son especiales para abordar los asuntos quisquillosos y se dedican a hacer experimentos para decidir si cierta afirmación es: verdadera, posible o imposible. Lo único malo es que están muy bien producidos, son esclavos del rating y tienen que levantar polémica si no perdería lo interesante su programa, en el momento en que mencionen una ecuación diferencial perderían el 80% de la audiencia, caso contrario de lo que pasa cuando realizan disparos con una Barret calibre .50. No podemos culparlos, estoy hablando de ellos por su fama.

Ellos abordaron un asunto similar a este, pero disparando al aire en ángulo de 90º y concluyeron, pronto y mal, que la velocidad terminal impediría que una bala disparada al aire fuera letal al caer (o al menos eso es lo que entendió la audiencia). Lo único malo es que no dijeron, y nunca dicen, es que hacer un tiro de 90º perfecto es casi imposible y que cualquier tiro en un ángulo menor hace que la bala mantenga su giro, ya que las balas van girando al salir porque los barriles de las pistolas tienen forma de espiral por dentro para darles el efecto. Al mantener el giro la bala no simplemente sube y cae como un pedazo de metal, mantiene su posición con la punta hacia el objetivo.

Por ello se han escrito muchas entradas en otros blogs tratando de poner perspectiva a las afirmaciones de los Mythbusters. Aquí hay una en donde calculan las velocidades terminales para tiro en diferentes ángulos con calibre 9mm. Y un artículo de wikipedia sobre tiros de celebración al aire.

Conclusión

Haya sido como haya sido la “imbestigación” de las autoridades en México, el pésimo manejo de Cinépolis, etc. etc. Muy al estilo de los Mythbusters: un niño sentado en un cine SÍ puede morir por una bala al aire que cae y atraviesa el endeble plafón del techo del cine. Además el cráneo de un niño es más suave que el de un adulto, porque somos el mamífero que tiene el mayor crecimiento del cerebro postparto.