Un niño de 10 años dedujo la progresión aritmética

Eduardo Miércoles 22 de noviembre del 2006

Cuenta la leyenda que cuando un matemático llamado Gauss tenía 10 años era muy inquieto en la clase, entonces un día su maestra le dijo: “quiero que me sumes los 100 primeros numeros naturales y me des el resultado”, ésto para que estuviera un poco más tranquilo, y el pequeño Gauss pensó en lo siguente:

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, $\ldots$ , 47, 48, 49, 50,
100, 99, 98, 97, 96, 95, 94, 93, $\ldots$ ,53, 52, 51

Es como si agarramos un hilo como si fuera la numeración y lo doblamos, quedan de esa manera.

Si nos damos cuenta
$\\ 100+0=100 \\ 99+1=100 \\ 98 + 2 = 100 \\ \vdots \\ 51 + 49 = 100 \\ 50$

Entonces podemos notar que el número 100 se va a repetir 50 veces pues si partimos el hilo en dos sería la mitad de 100, pero queda en un extremo el 50 asi que…

$50 \cdot 100 + 50 = 5050$

Ésto aplica a cualquier número

Que es el equivalente a estar sumando en la calculadora $1+2+3+4+ \cdots + 98 +99+ 100$

La formula general se puede deducir de ésta manera, si quisieramos conocer la suma de los primeros $n$ números naturales primero nos fijamos si $n$ es par o impar, si fuera impar entonces podemos partir la lista $\{0,1, \ldots,n\}$ en dos listas ( $\{0,1,\ldots , \frac{n-1}{2} \}$ , $\{n, n-1, \ldots , \frac{n+1}{2} \}$ ) tales que la suma de los i-ésimos elementos de las dos listas sea $n$ y como cada lista tiene $\displaystyle \frac{n+1}{2}$ elementos la suma de todos sería igual a $\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$ ; ahora que si $n$ fuera par entonces podemos hacer dos listas ( $\{0,1,\ldots , \frac{n}{2} - 1 \}$ , $\{n, n-1, \ldots , \frac{n}{2} + 2 , \frac{n}{2} + 1 \}$ ) donde cada lista tiene $\displaystyle \frac{n}{2}$ elementos, los sumamos y nos quedaría $\displaystyle \frac{n \cdot n}{2}$ , sólo quedaría sumarle a eso $\displaystyle \frac{n}{2}$ que no consideramos en las listas y así volvemos a obtener $\displaystyle \frac{n\cdot n}{2} + \frac{n}{2} = \frac{n(n+1)}{2}$ .

2 respuestas to “Un niño de 10 años dedujo la progresión aritmética”

# discipulodegausson 01 dic 2006 at 22:18

Hola me gusta como empiezas,”cuenta la leyenda”,esque en realidad GAUSS para mi es es ser mas inteligente que ha pisado la tierra,siempre me ha sorprendido y me sigue sorprendiendo su claridad para ver las cosas,saludos y te estare visitando mas frecuente.
discipulodegauss.
PD:y aun hay muchas mas leyendas sobre el.
# Pacoon 02 dic 2006 at 0:44

Así es Disipulodegauss, este señor por lo que sabemos de él era un verdadero genio, y bien lo demostró cuando era niño.

No dejes de visitarnos, seguiremos hablando de él y de algunos otros genios que han pasado por esta tierra.